RumusTurunan Fungsi Trigonometri. 5 sec x tan x. 10 sec x tan x. 10 sec 5x tan 5x-10 sec 5x tan 5x 5 sec x tan x alternatives 10 sec x tan x 10 sec 5x tan 5x -10 sec 5x tan 5x answer explanation . Tags: Topics: Question 12 . SURVEY . Ungraded . 30 seconds
kali ini akan membahas tentang materi pengertian turunan trigonometri yang meliputi rumus turunan beserta contoh soal turunan trigonometri dan pembahasannya lengkap. Turunan fungsi trigonometri yaitu proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan yaitu sinx, cosx dan tanx. Contoh turunan “fx = sinx” ditulis “f ′a = cosa”. “f ′a” yaitu tingkat perubahan sinx di titik “a”. turunan trigonometri Semua turunan fungsi trigonometri lingkaran bisa ditemui dengan cara memakai turunan sinx dan cosx. hasil-bagi lalu dpakai untuk menemukan turunannya. Sementara itu, pencarian turunan fungsi trigonometri invers membutuhkan diferensiasi implisit dan turunan fungsi trigonometri biasa. Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang hatus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri f x = sin x → f x = cos x f x = cos x → f x = −sin x f x = tan x → f x = sec2 x f x = cot x → f x = −csc2x f x = sec x → f x = sec x . tan x f x = csc x → f x = −csc x . cot x. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, Jadi f x = sin u → f x = cos u . u’ f x = cos u → f x = −sin u . u’ f x = tan u → f x = sec2u . u’ f x = cot u → f x = −csc2 u . u’ f x = sec u → f x = sec u tan u . u’ f x = csc u → f x = −csc u cot u . u’. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Berikut ialah turunan dari fungsi rumus sin cos tan trigonometri pada variabel sudut ax +b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0 f x = sin ax + b → f x = a cos ax + b f x = cos ax + b → f x = -a sin ax + b f x = tan ax + b → f x = a sec2 ax +b f x = cot ax + b → f x = -a csc2 ax+b f x = sec ax + b → f x = a tan ax + b . sec ax + b f x = csc ax + b → f x = -a cot ax + b . csc ax + b. Fungsi Turunan fungsi turunan trigonometri Contoh Soal Turunan Trigonometri Contoh Soal 1 Tentukan turunan y = cos x2 Jawab Misal u = x2 ⇒ u’ = 2x y’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2 Contoh Soal 2 Tentukan turunan y = sin 4x ! Jawab Misal u = 4x ⇒ u’ = 4 y’ = cos u . u’ y’ = cos 4x . 4 y’ = 4cos 4x Contoh Soal 3 Tentukan turunan y = sec 1/2x Jawab Misal u = 12x ⇒ u’ = 12 y’ = sec u tan u . u’ y’ = sec 1/2x tan 1/2x . 1/2 y’ = 1/2sec 1/2x tan 1/2x Contoh Soal 4 Tentukan turunan y = tan 2x+1 Jawab Misal u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2 y’ = sec2u . u’ y’ = sec22x+1 . 2 y’ = 2sec22x+1 Contoh Soal 5 Tentukan turunan y = sin74x−3 Jawab y = [sin 4x−3]7 Misal ux = sin 4x−3 ⇒ u'x = 4 cos 4x−3 n = 7 y’ = n [ux]n-1. u'x y’ = 7 [sin 4x−3]7-1 . 4 cos 4x−3 y’ = 28 sin6 4x−3 cos 4x−3 Demikianlah penjelasan tentang turunan trigonometri dari Semoga bermanfaat Artikel Lainya Contoh Soal Induksi Matematika Contoh Soal Mikrometer Sekrup
Tentukanturunan dari fungsi trigonometri dibawah ini f(x) = 2 sec 3x - 3 tan 2x, tentukan f'( π/3) (4) = 0 - 24 = -24 Jadi, hasil turunan dari fungsi trigonometri f(x) = 2 sec 3x - 3 tan 2x dengan f'( π/3) adalah -24 Semoga membantu^^ Beri Rating · 0.0 (0) Balas. Belum menemukan jawaban? Tanya soalmu ke Forum atau langsung diskusikan Definisi turunan, notasi delta, dan aturan turunan fungsi aljabar dasar telah dipelajari sebelumnya. Selain aljabar, fungsi trigonometri juga dapat diturunkan dengan menggunakan prinsip yang sama seperti kita menerapkan definisi turunan, yakni menggunakan limit. Selain itu, beberapa identitas dasar trigonometri juga dipakai saat proses pembuktian turunannya. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan Dasar Sebagaimana yang telah kita ketahui, fungsi trigonometri ada $6$, yaitu sinus, kosinus, tangen, kosekan, sekan, dan kotangen. Hanya sinus dan kosinus yang turunannya dicari menggunakan proses notasi delta dan definisi turunan. Fungsi lainnya dicari turunannya menggunakan aturan hasil bagi turunan. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Kali ini, akan dibuktikan turunan pertama dari setiap fungsi trigonometri tersebut. Quote by Nadiem Makarim Mulai aja dulu. Kalau kamu tidak mulai, maka kamu tidak akan berada di sana. Turunan Fungsi Sinus Fungsi sinus memiliki bentuk $fx = \sin x$. Berdasarkan proses notasi delta, kita peroleh $\begin{aligned} y & = \sin x \\ y + \Delta y & = \sin x+h \\ \Delta y & = \sin x+h-\sin x \end{aligned}$ Selanjutnya, gunakan identitas selisih sudut sinus $$\boxed{\sin A-\sin B = 2 \cos \left\dfrac{A+B}{2}\right \sin \left\dfrac{A-B}{2}\right}$$Dari sini, kita mendapatkan $\Delta y = 2 \cos \dfrac122x+h \sin \dfrac12h.$ Posisikan koefisien $2$ sebagai penyebut $\sin \dfrac12h$ dan bagi kedua ruas persamaan itu dengan $h$ sehingga diperoleh $\dfrac{\Delta y}{h} = \cos \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}.$ Terapkan definisi turunan dengan memunculkan notasi limit. $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left\cos \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \left\lim_{h \to 0} \cos \dfrac122x+h\right \cdot \left\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \cos \dfrac122x+0 \cdot 1 \\ & = \cos x \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx = \sin x$ adalah $f'x = \cos x$. Baca Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Dasar Turunan Fungsi kosinus Fungsi kosinus memiliki bentuk $fx = \cos x$. Berdasarkan proses notasi delta, kita peroleh $\begin{aligned} y & = \cos x \\ y + \Delta y & = \cos x+h \\ \Delta y & = \cos x+h-\cos x \end{aligned}$ Selanjutnya, gunakan identitas selisih sudut sinus $$\boxed{\cos A-\cos B = -2 \sin \left\dfrac{A+B}{2}\right \sin \left\dfrac{A-B}{2}\right}$$Dari sini, kita mendapatkan $\Delta y = -2 \sin \dfrac122x+h \sin \dfrac12h.$ Posisikan koefisien $2$ sebagai penyebut $\sin \dfrac12h$ dan bagi kedua ruas persamaan itu dengan $h$ sehingga diperoleh $\dfrac{\Delta y}{h} = -\sin \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}.$ Terapkan definisi turunan dengan memunculkan notasi limit. $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left- \sin \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \left\displaystyle \lim_{h \to 0} -\sin\dfrac122x+h\right \cdot \left\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = -\sin \dfrac122x+0 \cdot 1 \\ & = -\sin x \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx = \cos x$ adalah $f'x = -\sin x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Turunan Fungsi Tangen Fungsi tangen memiliki bentuk $fx = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = \sin x \Rightarrow u’ = \cos x$ $v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{\cos x \cos x-\sin x-\sin x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 x} \\ & = \left\dfrac{1}{\cos x}\right^2 \\ & = \sec^2 x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \tan x$ adalah $f'x = \sec^2 x.$ Baca Juga Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri Turunan Fungsi Kosekan Fungsi kosekan memiliki bentuk $fx = \csc x = \dfrac{1}{\sin x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = 1 \Rightarrow u’ = 0$ $v = \sin x \Rightarrow v’ = \cos x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0\sin x-1\cos x}{\sin^2 x} \\ & = -\dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \dfrac{1}{\sin x} \\ & = -\cot x \cdot \csc x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \csc x$ adalah $f'x = -\cot x \csc x$. Turunan Fungsi Sekan Fungsi sekan memiliki bentuk $fx = \sec x = \dfrac{1}{\cos x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = 1 \Rightarrow u’ = 0$ $v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0\cos x-1-\sin x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} \\ & = \tan x \sec x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \sec x$ adalah $f'x = \tan x \sec x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan kosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri Turunan Fungsi Kotangen Fungsi kotangen memiliki bentuk $fx = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = \cos x \Rightarrow u’ = -\sin x$ $v = \sin x \Rightarrow v’ = \cos x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{-\sin x \sin x-\cos x\cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-\sin^2 -\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = -\left\dfrac{1}{\sin x}\right^2 \\ & = -\csc^2 x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \cot x$ adalah $f'x = -\csc^2 x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri Sekarang, dapat kita simpulkan hasil dari turunan pertama setiap fungsi trigonometri dalam panel berikut. Turunan Fungsi Trigonometri Misalkan $fx$ menyatakan suatu fungsi dan $f'x$ menyatakan turunan pertamanya. $$\begin{aligned} & 1.~\text{Jika}~fx = \sin x,~\text{maka}~f'x = \cos x \\ & 2.~\text{Jika}~fx = \cos x,~\text{maka}~f'x = -\sin x \\ & 3.~\text{Jika}~fx = \tan x,~\text{maka}~f'x = \sec^2 x \\ & 4.~\text{Jika}~fx = \csc x,~\text{maka}~f'x = -\cot x \csc x \\ & 5.~\text{Jika}~fx = \sec x,~\text{maka}~f'x = \tan x \sec x \\ & 6.~\text{Jika}~fx = \cot x,~\text{maka}~f'x = -\csc^2 x \end{aligned}$$ Keenam poin tentang turunan pertama fungsi trigonometri di atas terpakai untuk menentukan turunan fungsi trigonometri yang lebih rumit biasanya melibatkan aturan rantai dan penelusuran akan lebih jauh bila Anda memasuki zona kalkulus, salah satu cabang matematika yang khusus mempelajari perubahan suatu fungsi. Tips Umumnya hanya turunan fungsi sinus, kosinus, dan tangen yang banyak dikeluarkan dalam soal-soal latihan untuk tingkat SMA. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi TrigonometriIniadalah video lanjutan dari dua video sebelumnya. Menemukan turunan fungsi trigonometri melalui sifat-sifat turunan.Bagi teman-teman yang ingin bertanya, - Rumus turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan fungsi trigonometri lainnya. Turunan fungsi trigonometri adalah proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri atau pun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Misal turunan fx ditulis f’a yang artinya tingkat perbahan fungsi di titik a. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x,tan x. Turunan fungsi trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan bentuk khusus dari limit. Baca JugaAnaknya Dihina Henny Rahman, Ibu Larissa Chou Beri Sindiran Pedas Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri f x = sin x → f x = cos x f x = cos x → f x = −sin x f x = tan x → f x = sec2 x Baca JugaLarissa Chou dan Henny Rahman Berseteru Di Atas Langit Masih Ada Langit f x = cot x → f x = −csc2x f x = sec x → f x = sec x . tan x f x = csc x → f x = −csc x . cot x. Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut A. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi f x = sin u → f x = cos u . u’ f x = cos u → f x = −sin u . u’ f x = tan u → f x = sec2u . u’ f x = cot u → f x = −csc2 u . u’ f x = sec u → f x = sec u tan u . u’ f x = csc u → f x = −csc u cot u . u’. B. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Misalkan variabel sudut trigonometrinya ax+b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0, maka turunan fungsi trigonometrinya yaitu,f x = sin ax + b → f x = a cos ax + b f x = cos ax + b → f x = -a sin ax + b f x = tan ax + b → f x = a sec2 ax +b f x = cot ax + b → f x = -a csc2 ax+b f x = sec ax + b → f x = a tan ax + b . sec ax + b f x = csc ax + b → f x = -a cot ax + b . csc ax + b. Contoh Soal Turunan Trigonometri Soal 1 Tentukan turunan y = cos x2 Jawab Misal u = x2 ⇒ u’ = 2x y’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2 Soal 2 Tentukan turunan y = sin 4x ! Jawab Misal u = 4x ⇒ u’ = 4 y’ = cos u . u’ y’ = cos 4x . 4 y’ = 4cos 4x Demikianlah penjelasan tentang turunan fungsi trigonometri, semoga bermanfaat. Kontributor Titi SabanadaPenjelasanTurunan trigonometri. Turunan Fungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi - fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc. Jika y=sin x maka y' = cos x Jika y=cos x maka y' = -sin xBlog Koma - Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan materi turunan khususnya materi turunan fungsi trigonometri. Sebelumnya juga sudah kita bahas materi "definisi turunan secara umum" dan "turunan fungsi aljabar". Untuk turunan fungsi trigonometri ini, kita akan langsung menggunakan rumus dasar turunan fungsi trigonometri. Sementara untuk pembuktiannya, tetap menggunakan definisi turunan secara umum. Dan juga kita harus mengingat kembali rumus trigonometri pada materi trigonometri sebelumnya. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri i. $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ ii. $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ iii. $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ iv. $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ v. $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $ vi. $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $ Untuk pembuktiannya ada di bagian paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk $ \csc x \, $ sama dengan $ cossec \, x $ . Contoh 1. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \sin x . \cos x $ b. $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ c. $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Penyelesaian a. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x . \cos x $ Misalkan $ U = \sin x \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \cos x \rightarrow V^\prime = -\sin x $ *. Rumus dasar $ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x . \cos x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \cos x + \sin x . -\sin x \\ & = \cos ^2 x - \sin ^2 x \\ & = \cos 2x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x . \cos x \rightarrow y^\prime = \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $ b. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ Misalkan $ U = \sin x + 1 \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \tan x - \sec x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x - \sec x . \tan x = \sec x \sec x - \tan x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x + 1 \tan x - \sec x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x , \, $ turunannya adalah $ y^\prime = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x $ c. Turunan pembagian fungsi , $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Misalkan $ U = 1 + \cot x \rightarrow U^\prime = -\csc ^2 x $ dan $ V = \sin x + \cos x \rightarrow V^\prime = \cos x - \sin x $ *. Ingat rumus identitas dan sudut rangkap pada trigonometri, *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{-\csc ^2 x . \sin x + \cos x - 1 + \cot x. \cos x - \sin x }{\sin x + \cos x ^2} \\ & = \frac{ -\csc ^2 x \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cot x \sin x }{ \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin ^2 x} . \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} . \sin x }{ 1 + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Jadi, diperoleh $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} \, , $ turunannya adalah $ \begin{align} y^\prime = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri yang lebih kompleks Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks i. $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx $ ii. $ y = \cos gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .\sin gx $ iii. $ y = \tan gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . \csc gx . \cot gx $ Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya i. $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ ii. $ y = \cos ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx $ iii. $ y = \tan ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n \tan ^{n - 1 } gx . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. n. \cot ^{n -1} gx . \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n. \sec ^{n -1 } gx . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx $ Catatan bentuk $ \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita menggunakan "aturan rantai turunan fungsi". Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam menentukan turunannya, ingat singkatan "SuPaTri" dengan kepanjangannya "Sudut Pangkat Trigonometri" yang artinya turunkan sudutnya dulu, lalu pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tidak ada pangkatnya $n$, maka langsung gunakan "SuTri" saja. Contoh 2. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut. a. $ y = \sin 3x^2 + 2x - 5 $ b. $ y = \cot x^2 - x + 7 $ c. $ y = \sec 5x^3 + 9 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 3x^2 + 2x - 5 \rightarrow g^\prime x = 6x + 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sin 3x^2 + 2x - 5 \\ y & = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx \\ y^\prime & = 6x + 2 . \cos 3x^2 + 2x - 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 6x + 2 \cos 3x^2 + 2x - 5 $ b. misalkan $ gx = x^2 - x + 7 \rightarrow g^\prime x = 2x-1 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cot x^2 - x + 7 \\ y & = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx \\ y^\prime & = -2x-1 . \csc ^2 x^2 - x + 7 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -2x-1 \csc ^2 x^2 - x + 7 $ c. misalkan $ gx = 5x^3 + 9 \rightarrow g^\prime x = 15x^2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sec 5x^3 + 9 \\ y & = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx \\ y^\prime & = 15x^2 . \sec 5x^3 + 9 . \tan 5x^3 + 9 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 15x^2 \sec 5x^3 + 9 \tan 5x^3 + 9 $ 3. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 $ b. $ y = \csc ^ 5 x^4 + 5 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 2x^3 - 5x + 2 \rightarrow g^\prime x = 6x - 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 \\ y & = \cos ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-5 . 3 . \cos ^{3 -1 } 2x^3 - 5x + 2 . \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 $ Hasil akhirnya bisa diubah kebentuk lain dengan menggunakan rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu $ \sin 2 gx = 2 \sin gx \cos gx \, $ atau $ \sin gx \cos gx = \frac{1}{2} \sin 2 gx \, $ . Proses modifikasi ini biasanya dilakukan untuk soal-soal yang menggunakan sistem pilihan ganda. Jika bentuk pertama tidak ada di pilihan, maka hasilnya kita modifikasi lagi dengan persamaan trigonometri yang ada sehingga jawaban kita ada pada pilihan. *. Kita modifikasi , $ \begin{align} y^\prime & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 22x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 4x^3 - 10x + 4 ] \\ & = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 . \sin 4x^3 - 10x + 4 \end{align} $ Sehingga bentuk lain dari turunannya adalah $ y^\prime = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 4x^3 - 10x + 4 $ b. misalkan $ gx = x^4 + 5 \rightarrow g^\prime x = 4x^3 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \csc ^ 5 x^4 + 5 \\ y & = \csc ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx \\ y^\prime & = -x^4+5 . 5.\csc ^{5 -1} x^4 + 5 . \csc x^4 + 5 . \cot x^4 + 5 \\ & = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 $ 4. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} $ misalkan $ gx = x^2 + 5x - 1 \rightarrow g^\prime x = 2x + 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} \\ y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^{n } \\ y^\prime & = g^\prime x . n . [\sin gx ]^{n-1} . \cos gx \\ y^\prime & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{-\frac{1}{2}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1}} $ 5. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} $ misalkan $ gx = 3x^2 - 2x \rightarrow g^\prime x = 6x - 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} \\ y & = \cos ^{n } gx = [\cos gx ]^{n } \\ y^\prime & = -g^\prime x . n . [\cos gx ]^{n-1} . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-2 . \frac{5}{2} . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{5}{2}-1} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -3x-1 . 5 . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{3}{2}} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x $ Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu $ f^\prime x = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{fx+ h - fx}{h} \, \, $ jika limitnya ada. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ *. Ingat bentuk $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \sin x + h = \sin x \cos h + \cos x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \sin x - \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. 0 + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ *. Ingat bentuk $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \cos x + h = \cos x \cos h - \sin x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \cos x - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. 0 - \sin x \\ & = 0 - \sin x \\ & = -\sin x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \tan x $ $ fx+h = \tan x+h = \frac{\sin x+h}{\cos x+h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \, \, \, \, \, \text{identitas} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ 1 \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x 1 - \sin x .0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ & = \sec x . \sec x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \cot x $ $ fx+h = \cot x+h = \frac{\cos x+h}{\sin x+h} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x + \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - 1 \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = 1. \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x .1 + \cos x .0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x } \\ & = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ & = - \csc x . \csc x \\ & = - \csc ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \sec x $ $ fx+h = \sec x+h = \frac{1}{\cos x+h} = \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \sec x = \frac{1}{\cos x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{1}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x 1 - \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin \frac{1}{2} .0 . \frac{1}{2} + \sin x . 1 }{ \cos x \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x . 1 - \sin x . 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 0 + \sin x }{ \cos x \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ \sin x }{ \cos x } \\ & = \sec x \tan x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc x A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \csc x $ $ fx+h = \csc x+h = \frac{1}{\sin x+h} = \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \csc x = \frac{1}{\sin x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{1}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 1 - \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \frac{ \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \cos x \frac{ \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 }\frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} . 0 . \frac{1}{2} - \cos x . 1 }{ \sin x \sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x . 1 + \cos x . 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2 . 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x + 0 } \\ & = \frac{ 0 - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = \frac{ - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = - \frac{ 1 }{ \sin x } . \frac{ \cos x }{ \sin x } \\ & = - \csc x \cot x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ Catatan nilai $ \sin 0 = 0 \, $ dan $ \, \cos 0 = 1 $ Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri kompleks Untuk pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, kita menggunakan aturan rantai turunan fungsi. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ *. Permisalan $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ y = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dy}{dz} = \cos z $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin gx \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = \cos z . g^\prime x \\ & = g^\prime x \cos z \\ & = g^\prime x \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ *. Permisalan $ y = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ p = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dp}{dz} = \cos z = \cos gx $ $ y = [\sin gx ]^n = [ p ]^n \rightarrow \frac{dy}{dp} = n . p ^ {n-1} = n . [ \sin gx ]^{n-1} = n. \sin ^{n-1} gx $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dp} . \frac{dp}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx . g^\prime x \\ & = g^\prime x . n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ Catatan untuk pembuktian yang lainnya caranya hampir sama dengan aturan rantai di atas.
Turunanfungsi trigonometri inversi Contoh 9 Tentukanlah D x(sec 1 x)3. Dengan menggunakan Aturan Rantai dan Teorema Turunan Fungsi Trigonometri Inversi, didapat D x(sec 1 x)3 = 3(sec 1 x)2 D x(sec 1 x) = 3(sec 1 x)2 1 jxj p x2 1 = 3(sec 1 x)2 jxj p x2 1: 17/23 Kalkulus 1 (SCMA601002) 6.8 Fungsi trigonometri inversi
A. Turunan TrigonometriRumus turunan dari fungsi trigonometri sin x , cos x , tan x , cot x , sec x dan csc x , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi Turunan dari Sin dari f x = sin x adalah f x = cos x2. Turunan dari cos dari f x = cos x adalah f x = – sin x3. Turunan tan dari f x = tan x adalah f x = Sec 2x4. Turunan cot dari f x = cot x adalah f x = – csc 2 x5. Turunan dari Sec dari f x = sec x adalah f x = sec x tan x6. Turunan dari csc dari f x = csc x adalah f x = – csc x cot xContoh 1 Temukan turunan pertama dari f x = x sin x Solusi untuk Contoh 1Misalkan g x = x dan h x = sin x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h f x = g x h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan produk, f x = g x h’ x + h x g x, untuk membedakan fungsi f sebagai berikutf x = x cos x + sin x * 1 = x cos x + sin xContoh 2 Temukan turunan pertama dari f x = tan x + Sec xSolusi untuk Contoh 2Misalkan g x = tan x dan h x = sec x, fungsi f dapat dianggap sebagai jumlah fungsi g dan h f x = g x + h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan jumlah, f x = g’ x + h x, untuk membedakan fungsi f sebagai berikutf x = sec 2 x + Sec x tan x = Sec x Sec x + tan xContoh 3 Temukan turunan pertama dari f x = sin x / [1 + cos x]Solusi untuk Contoh 3Misalkan g x = sin x dan h x = 1 + cos x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h f x = g x / h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan , f x = [h x g’ x – g x h x] / h x 2 , untuk membedakan fungsi f sebagai berikutg x = cos xh x = – sin xf x = [h x g’ x – g x h x] / h x 2= [1 + cos x cos x – sin x - sin x] / 1 + cos x 2= [cos x + cos 2 x + sin 2 x] / 1 + cos x 2Gunakan identitas trigonometri cos 2 x + sin 2 x = 1 untuk mempermudah persamaan di atasf x = [cos x + 1] / 1 + cos x 2 = 1 / [cos x + 1]B. Perluasan Rumus TrigonometriJika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u’ adalah turunan u terhadap x, maka 1. fx = sin u → f x = cos u . u’ 2. fx = cos u → f x = −sin u . u’ 3. fx = tan u → f x = sec2u . u’ 4. fx = cot u → f x = −csc2 u . u’ 5. fx = sec u → f x = sec u tan u . u’ 6. fx = csc u → f x = −csc u cot u . u’Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan PenyelesaiannyaContoh 1Tentukan turunan dari y = sin 6x ! Penyelesaian Misalkan u = 6x ⇒ u’ = 6y’ = cos u . u’ y’ = cos 6x . 6 y’ = 6cos 6xContoh 2Tentukan turunan dari y = cos x2Penyelesaian Misalkan u = x2 ⇒ u’ = 2xy’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2Contoh 3 Tentukan turunan dari y = tan 3x+2 Penyelesaian Misalkan u = 3x + 2 ⇒ u’ = 3y’ = sec2u . u’ y’ = sec23x+2 . 3 y’ = 3sec23x+2Contoh 4 Tentukan turunan dari y = sec 6xPenyelesaian Misalkan u = 6x ⇒ u’ = 6y’ = sec u tan u . u’ y’ = sec 6x tan 6x . 6 y’ = 6sec 6x tan 6xC. Turunan y = [ux]nMisalkan y = [ux]n dengan ux adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut y′=n[ux]n− 5 Tentukan turunan dari y = cos56x Penyelesaian y = [cos 6x]5Misalkan ux = cos 6x ⇒ u'x = −6sin 6x n = 5y’ = n[ux]n-1. u'x y’ = 5[cos 6x]5-1. −6sin 6x y’ = −30 cos46x . sin 6xContoh 6 Tentukan turunan dari y = sin63x−1 Penyelesaian y = [sin 3x−1]6Misalkan ux = sin 3x−1 ⇒ u'x = 3cos 3x−1 n = 6y’ = n[ux]n-1. u'x y’ = 6[sin 3x−1]6-1 . 3cos 3x−1 y’ = 18 sin53x−1 cos 3x−1Catatan Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari Soal Turunan Fungsi TrigonometriLatihan 1Tentukan turunan dari y = sin x2Jawab y’ = cos x2 . 2xy = 2x cos x2Latihan 2Tentukan turunan dari y = cos 3x+1 Jawab y’ = −sin 3x+1 . 3 y’ = −3sin 3x+1Latihan 3Tentukan turunan dari fx = tan 12x Jawab f x = sec212x . 12 f x = 12sec212xLatihan 4Tentukan turunan y = sin x2+3x−1 Jawab y’ = cos x2+3x−1 . 2x+3 y’ = 2x+3 cosx2+3x−1 Latihan 5Tentukan turunan dari y = sec 2x Jawab y’ = sec 2x tan 2x . 2 y’ = 2sec 2x tan 2x Latihan 6Tentukan turunan dari y = cos 2x+14 Jawab y’ = −sin 2x+14 . 42x+14-1 . 2 y’ = −82x+13 sin2x+14Latihan 7Tentukan turunan dari y = tan53x Jawab y’ = 5tan43x . sec23x . 3 y’ = 15 tan43x sec23x Latihan 8Tentukan turunan dari y = cos45x+2 Jawab y’ = 4cos35x+2 . −sin 5x+2 . 5 y’ = −20 cos35x+2 sin5x+2 Latihan 9Tentukan turunan y = sin6x2+3x Jawab y’ = 6 sin5x2+3x . cosx2+3x. 2x + 3 y’ = 62x + 3 sin5x2+3x . cosx2+3xLatihan 10Tentukan f x dari a. fx = 3sin 2x + 4cos x Jawab f x = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x f x = 6cos 2x − 4sin = tan 2x − csc x Jawab f x = sec22x . 2 − −csc x ctg x f x = 2sec22x + csc x ctgc. fx = sec 4x + tan x+1 Jawab f x = sec 4x tan 4x . 4 + sec2x+1 . 1 f x = 4sec 4x tan 4x + sec2x + 1Latihan 11Tentukan turunan dari y = x2cos 2x Jawab Misalkan u = x2 ⇒ u’ = 2x v = cos 2x ⇒ v’ = −2 sin 2xy’ = u’.v + y’ = 2x . cos 2x + x2 . −2 sin 2x y’ = 2x cos 2x − 2x2 sin 2x y’ = 2xcos 2x − x sin 2xLatihan 12Tentukan turunan dari fx = 1 + sin2x7 Jawab ux = 1 + sin2x ⇒ u'x = 2sin x cos x n = 7f x = 71 + sin2x7-1 . 2sin x cos x f x = 7 1 + sin2x6 . sin 2x f x = 7sin 2x 1 + sin2x6SummaryArticle NameDiferensial Fungsi Trigonometri Beserta ContohnyaDescriptionRumus turunan dari fungsi trigonometri sin x , cos x , tan x , cot x , sec x dan csc x , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi NameGuru SipilPublisher Logo
LimitTrigonometri Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri: f(x) = sin x → f '(x) = cos x f(x) = cos x → f '(x) = −sin x f(x) = tan x → f '(x) = sec2 x f(x) = cot x → f '(x) = −csc2x f(x) = sec x → f '(x) = sec x . tan x f(x) = csc x → f '(x
pada kesempatan sebelum sudah dibahas tentang materi aturan-aturan turuan dan sekarang akan membahas tentang materi turunan fungsi trigonometri serta pembuktianya menggunakan definisi turunan. Apasih turunan trigonometri itu? Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Untuk lebih lanjut, mari simak penjelasan berikut ini. 1. Turunan Fungsi sin x Untuk menghitung turunan dari fx = sin x, kita perlu mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi sinus sin x + h = sin x. cos h + cos x. sin h Jika fx = sin x, maka Sehingga, turunan dari fungsi sin x adalah 2. Turunan Fungsi cos x Untuk menghitung turunan dari fx = cos x, kita perlu mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi cosinus cos x + h = cos x. cos h - sin x. sin h Jika fx = cos x, maka Sehingga, turunan dari fungsi cos x adalah 3. Turunan Fungsi tan x Untuk menghitung turunan dari fx = tan x, kita perlu menggunakan aturan-aturan turunan pada hasil bagi/pembagian. Kemudian gunakan turunan fungsi sin x dan cos x yang sudah dicari. Jika fx = tan x, maka Sehingga, turunan dari fungsi tan x adalah 4. Turunan Fungsi sec x Untuk menghitung turunan dari fx = sec x, kita perlu menggunakan aturan-aturan identitas trigonometri dan aturan pembagian dalam turunan. Jika fx = sec x, maka Sehingga, turunan fungsi sec x adalah 5. Turunan Fungsi csc x Caranya sama dengan mencari turunan fungsi sec x, yaitu dengan menggunakan aturan identitas trigonometri csc x dan aturan pembagian turunan Jika fx = csc x, maka Sehingga, turunan dari csc x adalah 6. Turunan Fungsi cot x Ulangi lagi cara yang sama yang dilakukan diatas. yaitu gunakan aturan identitas dan aturan turunan dalam pembagian Jika fx = cot x, maka Sehingga turunan dari fungsi cot x adalah Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Berikut ini merupakan turunan dari fungsi- fungsi rumus sin, cos, tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax, dimana a adalah bilangan real dengan a ≠ 0 fx = sin ax, maka f'x = a cos ax fx = cos ax, maka f'x = -a sin ax fx = tan ax, maka f'x = a sec2 ax fx = sec ax, maka f'x = a sec ax. tan ax fx = csc ax, maka f'x = -a csc ax. cot ax fx = cot ax, maka f'x = -a csc2 ax Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax + b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a ≠ 0 Jika, fx = sin ax + b, maka f'x = a cos ax + b fx = cos ax + b, maka f'x = -a sin ax + b fx = tan ax + b, maka f'x = a sec2 ax + b fx = sec ax + b, maka f'x = a sec ax + b. tan ax + b fx = csc ax + b, maka f'x = -a csc ax + b. cot ax + b fx = cot ax + b, maka f'x = -a sec2 ax + b Contoh Untuk memahami turunan fungsi trigonometri yang sudah dijelaskan diatas, sebaiknya kita berlatih mengerjakan soal. Silahkan klik link yang sudah saya sediakan {latihan soal turunan fungsi trigonometri}.
Berikutini merupakan pembuktian turunan dari fungsi trigonometri sinus dan cosinus menggunakan definisi turunan (diferensial). Untuk fungsi trigonometri lainnya seperti tangen, cotangen, cosecan, dan secan bisa diperoleh menggunakan teorema turunan. Pembuktian Turunan Fungsi Sinus f (x)=sin x f (x+h)=sin (x+h) Pembuktian Turunan Fungsi Cosinus
Pada kesempatan ini kita akan bahas tentang turunan fungsi akan bahas secara detail dan lengkap mulai dari pengertian turunan fungsi trigonometri, beserta rumus dan contoh IsiPengertian Turunan Fungsi TrigonometriDaftar rumus turunan fungsi trigonometriPerluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Contoh SoalPelajari Materi TerkaitTurunan Fungsi Trigonometri adalah turunan dari fungsi sinus dan kosinus, yang didapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan y=sin x maka y’ = cos xJika y=cos x maka y’ = –sin xDari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan pengembangan rumus tersebut adalahy = tan x maka y’ = sec2xy = cot x maka y’ = – cosec2xy = sec x maka y’ = sec x . tan xy = cosec x maka y’ = – cosec x . tan xDaftar rumus turunan fungsi trigonometriFungsiTurunansinxcosxcosx– Sinxtanxsec2xcotx-csc2xsecxsecx tanxcscx–cscx cotxMaka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini ;Misalkan ux merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan fu = sin u, makauntuky= f [ux] diperolehy’ = f [ux]. u’xy’= cos uu’y’= u’.cos uSehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh ;Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 1. Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, maka ;FungsiTurunansinucos u . u’cosu– Sinu . u’tanusec2u . u’cotu-csc2u . u’secusecu tanu . u’cscu–cscu cotu . u’2. Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b ialah bilangan real dengan a≠0 ;FungsiTurunansinax + ba cos ax + bcosax + b-a Sinax + btanax + ba sec2ax + bcotax + b–a csc2ax + bsecax + ba secax + b tanax + bcscax + b–a cscax + b cotax + bContoh SoalTurunan pertama dari fx = 4 cos 5 – 7x adalah f x = …..Jawab ;fx = 4 cos 5 – 7xf’x = -4×-7 × sin 5 – 7xf’x =28 sin 5 – 7xPelajari Materi TerkaitPerbandingan TrigonometriContoh Soal Trigonometri dan PembahasannyaKumpulan Contoh Soal Integral Dan PembahasannyaKumpulan Contoh Soal TurunanLimit FungsiTurunanTrigonometri - Jika anda sedang mencari bagaimana cara menyelesaikan soal dan menghitung rumus turunan fungsi trigonometri, sin, cos, tan, dan lainnya, anda bisa mempelajarinya secara detail langsung dalam artikel kami ini. Nah, sebelum kita membahas lebih dalam mengenai rumus trigonomerti atau rumus sin cos tan ini, mari kita awali terlebih dahulu pembahasan kita mengenai definisi Oleh Agung Izzulhaq — 22 Juni 2019Kategori Kalkulus Masih membahas turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan $\cos x$ dan $\sec x$.$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -\sin x \\D_x \left \sec x \right &= \sec x \tan x\end{aligned}$$Bukti Turunan $\cos x$Kita mulai dengan definisi turunan$$D_x \left \cos x \right = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos x+h - \cos x}{h}$$Dengan menggunakan rumus jumlah sudut cosinus, diperolehLimit yang diinginkan adalah untuk $h$ menuju 0. Karena $\sin x$ dan $\cos x$ tidak memuat variabel $h$, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperolehDiketahui bahwa $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1$ dan $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 - \cos h}{h}=0$, sehingga$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -\sin x \cdot 1 - \cos x \cdot 0 \\&= -\sin x\end{aligned}$$Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut$$D_x \left \cos x \right = D_x \sin \frac{\pi}{2} - x$$Kita tahu bahwa $D_x \sin x = \cos x$ Bukti. Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -1 \cdot \cos \frac{\pi}{2} - x \\&= -\cos \frac{\pi}{2} \cos x + \sin \frac{\pi}{2} \sin x \\&= -\cos \frac{\pi}{2} \cos x - \sin \frac{\pi}{2} \sin x\end{aligned}$$Diketahui $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ dan $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -1 \cdot 0 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x \\&= -\sin x\end{aligned}$$Bukti Turunan $\sec x$Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperolehSelain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.$$\begin{aligned}D_x \left \sec x \right &= D_x \left \frac{1}{\cos x} \right \\&= \frac{0 \cdot \cos x - - \sin x \cdot 1}{\left \cos x \right ^{2}} \\&= \frac{\sin x}{\left \cos x \right ^{2}} \\&= \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \\&= \sec x \cdot \tan x\end{aligned}$$Terbukti.TurunanFungsi Trigonometri Pengertian Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi - fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc. Proses pengembangan rumus tersebut ialah ; y = tan x maka Rumus Turunan GrigonometriBerikut rumus turunan trigonometri1. Jika fx = sin x maka f'x = cos x2. Jika fx = cos x maka f'x = -sin x3. Jika fx = tan x maka f'x = sec²x4. Jika fx = cot x maka f'x = -cosec²x5. Jika fx = sec x maka f'x = sec x6. Jika fx = cosec x maka f'x = -cosec xTurunan Trigonometri – Rumus Turunan Fungsi Trigonometri – Contoh Soal dan Jawaban. Ilustrasi dan sumber foto [Royalty Free]Tips setiap fungsi trigonometri yang hurufnya dimulai dengan huruf c, maka turunannya bernilai Turunan trigonometriTurunan Fungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan y=sin x maka y’ = cos x Jika y=cos x maka y’ = –sin xDari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan pengembangan rumus tersebut ialahy = tan x maka y’ = sec2x y = cot x maka y’ = – cosec2x y = sec x maka y’ = sec x . tan x y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan xMaka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut iniMisalkan ux merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan fu = sin u, maka untuk y= f [ux] diperoleh y’ = f [ux]. u’x y’= cos uu’y’= u’.cos u Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan Turunan Fungsi TrigonometriBerikut ini ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometriJika fx= sin x → f x = cos xJika fx= cos x → f x = −sin xJika fx= tan x → f x = sec2 xJika fx= cot x → f x = −csc2xJika fx= sec x → f x = sec x . tan xJika fx= cosec x → f x = −cosec x . cot Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 1Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, makaJika fx= sin u → f x = cos u . u’Jika fx= cos u → f x = −sin u . u’Jika fx= tan u → f x = sec2u . u’Jika fx= cot u → f x = −csc2 u . u’Jika fx= sec u → f x = sec u tan u . u’Jika fx= csc u → f x = −csc u cot u . u’.Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 2Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 ;Jika fx= sin ax + b → f x = a cos ax + bJika fx= cos ax + b → f x = -a sin ax + bJika fx= tan ax + b → f x = a sec2 ax +bJika fx= cot ax + b → f x = -a csc2 ax+bJika fx= sec ax + b → f x = a tan ax + b . sec ax + bJika fx= csc ax + b → f x = -a cot ax + b . csc ax + bContoh Soal Turunan Trigonometri1. Turunkan fungsi berikut y = 5 sin xPembahasany = 5 sin x y’ = 5 cos x2. Turunan pertama fungsi y = cos 2x³ – x² ialah…A. y’ = sin 2x³ – x²B. y’ = -sin 2x³ – x²C. y’ = 6x² – 2x cos 2x³ – x²D. y’ = 6x² – 2x sin 2x³ – x²E. y’ = -6x² – 2x sin 2x³ – x²Pembahasany = cos 2x³ – x²Misalkan ux = 2x³ – x² maka u'x = 6x² – 2x y = cos ux y’ = -sin ux . u'x y’ = -sin 2x³ – x² . 6x² – 2x y’ = -6x² – 2x.sin2x³ – x²JAWABAN E3. Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin xPembahasany = −4 sin x y’ = −4 cos x4. Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y’Pembahasan y = −2 cos x y’ = −2 −sin x y’ = 2 sin x5. Jika y = x² sin 3x, maka dy/dx =…A. 2x sin 3x + 2x² cos xB. 2x sin 3x + 3x² cos 3xC. 2x sin x + 3x² cos xD. 3x cos 3x + 2x² sin xE. 2x² cos x + 3x sin 3xPembahasany = x² sin 3x Misalkan ux = x² maka u'x = 2x vx = sin 3x maka v'x = 3 cos 3x y = ux . vx y’ = u'x.vx + ux.v'x = 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x = 2x sin 3x + 3x²cos 3x JAWABAN B6. Diketahui fungsi Fx = sin²2x + 3 dan turunan pertama dari F adalah F’. Maka F'x =…A. 4 sin 2x + 3 cos 2x + 3B. -2 sin 2x + 3 cos 2x + 3C. 2 sin 2x + 3 cos 2x + 3D. -4 sin 2x + 3 cos 2x + 3E. sin 2x + 3 cos 2x + 3PembahasanFx = sin²2x + 3 Misalkan ux = sin 2x + 3, maka u'x = cos 2x + 3 . 2 = 2cos 2x + 3 2 berasal dari turunan 2x + 3 Fx = [ux]² F'x = 2[ux]¹ . u'x = 2sin 2x + 3 . 2cos 2x + 3 = 4sin 2x + 3 cos 2x + 3 JAWABAN A7. Diketahui fx = sin³ 3 – 2x. Turunan pertama fungsi f adalah f’ maka f'x =…A. 6 sin² 3 – 2x cos 3 – 2xB. 3 sin² 3 – 2x cos 3 – 2xC. -2 sin² 3 – 2x cos 3 – 2xD. -6 sin 3 – 2x cos 6 – 4xE. -3 sin 3 – 2x sin 6 – 4xPembahasanfx = sin³ 3 – 2x Misalkan ux = sin 3 – 2x, maka u'x = cos 3 – 2x . -2 u'x = -2cos 3 – 2x -2 berasal dari turunan 3-2x fx = [ux]³ f'x = 3[ux]² . u'x f'x = 3sin²3 – 2x . -2cos 3 – 2x = -6 sin²3 – 2x . cos 3 – 2x = -3 . 2 sin 3 -2x.sin 3 -2x.cos 3 – 2x = -3 . sin 3 – 2x. 2 sin 3 – 2x.cos 3 – 2x ingat sin 2x = 2 sin x = -3 sin 3 – 2x sin 23 – 2x = -3 sin 3 – 2x sin 6 – 4x JAWABAN E8. Turunan pertama dari Fx = sin³ 5 – 4x adalah F'x = …A. 12 sin² 5 – 4x cos 5 – 4xB. 6 sin 5 – 4x sin 10 – 8xC. -3 sin² 5 – 4x cos 5 – 4xD. -6 sin 5 – 4x sin 10 – 8xE. -12 sin² 5 – 4x cos 10 – 8xPembahasan Fx = sin³ 5 – 4x Misalkan ux = sin 5 – 4x, maka u'x = cos 5 – 4x . -4 u'x = -4cos 5 – 4x -4 berasal dari turunan 5 – 4x fx = [ux]³ f'x = 3[ux]² . u'x f'x = 3sin²5 – 4x . -4cos 5 – 4x = -12 sin²5 – 4x . cos 5 – 4x = -6 . 2 sin 5 – 4x.sin 5 – 4x.cos 5 – 4x = -6 . sin 5 – 4x. 2 sin 5 – 4x.cos 5 – 4x ingat sin 2x = 2 sin x = -6 sin 5 – 4x sin 25 – 4x = -6 sin 5 – 4x sin 10 – 8x JAWABAN D9. Tentukan y’ dari y = 4 sin x + 5 cos xPembahasany = 4 sin x + 5 cos x y’ = 4 cos x + 5 −sin x y = 4 cos x − 5 sin x10. Tentukan turunan dari y = 5 cos x − 3 sin xPembahasany = 5 cos x − 3 sin x y’ = 5 −sin x − 3 cos x y’ = −5 sin x − cos x11. Tentukan turunan dari y = sin 2x + 5PembahasanDengan aplikasi turunan berantai maka untuky = sin 2x + 5 y = cos 2x + 5 ⋅ 2 → Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5 y’ = 2 cos 2x + 512. Tentukan turunan dari y = cos 3x −1PembahasanDengan aplikasi turunan berantai maka untuky = cos 3x − 1 y = − sin 3x −1 ⋅ 3 → Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1 Hasil akhirnya adalah y’ = − 3 sin 3x − 113. Tentukan turunan dari y = sin2 2x −1PembahasanTurunan berantaiy = sin2 2x −1 y’ = 2 sin 2−1 2x −1 ⋅ cos 2x −1 ⋅ 2 y’ = 2 sin 2x −1 ⋅ cos 2x −1 ⋅ 2 y’ = 4 sin 2x −1 cos 2x −114. Diketahui fx = sin3 3 – 2x Turunan pertama fungsi f adalah f maka f x =…Pembahasanfx = sin3 3 – 2xTurunkan sin3 nya, Turunkan sin 3 – 2x nya, Turunkan 3 – 2x nya,Hasilnya dikalikan semua seperti inifx = sin3 3 – 2x f x = 3 sin 2 3 − 2x ⋅ cos 3 − 2x ⋅ − 2 f x = −6 sin 2 3 − 2x ⋅ cos 3 − 2xSampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θf x = −6 sin 2 3 − 2x ⋅ cos 3 − 2x f x = −3 ⋅ 2 sin 3 − 2x ⋅ sin 3 – 2x ⋅ cos 3 − 2x f x = −3 ⋅ 2 sin 3 − 2x ⋅ cos 3 – 2x ⋅ sin 3 − 2x _____________________ ↓ sin 2 3 − 2xf x = −3 sin 23 – 2x ⋅ sin 3 − 2x f x = −3 sin 6 – 4x sin 3 − 2x atau f x = −3 sin 3 − 2x sin 6 – 4x15. Diketahui fungsi fx = sin2 2x + 3 dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′x = …PembahasanTurunan berantai fx = sin2 2x + 3 Turunkan sin2 nya, Turunkan sin 2x + 3 nya, Turunkan 2x + 3 nya. f x = 2 sin 2x + 3 ⋅ cos 2x + 3 ⋅ 2 f x = 4 sin 2x + 3 ⋅ cos 2x + 316. Jika fx = sinx+cosxsinx, sin x ≠ 0 dan f’ adalah turunan f, maka f'π2 = …A. -2B. -1C. 0D. 1E. 2Pembahasanfx = sinx+cosxsinx Misalkan * ux = sin x + cos x , maka u'x = cos x – sin x * vx = sin x, maka v'x = cos x fx = uxvx f'x = u′x.vx−ux.v′x[vx]2 = cosx−sinx.sinx−sinx+cosx.cosx[sinx]2 f'π2 = cosπ2−sinπ2.sinπ2−sinπ2+cosπ2.cosπ2[sinπ2]2 f'π2 = 0−1.1−1+0.012 f'π2 = −1−01 f'π2 = -1 JAWABAN B17. Jika f x adalah turunan dari fx dan jika fx = 3x – 2 sin 2x + 1 maka f x adalah…3 cos 2x + 1 6 cos 2x + 1 3 sin 2 x + 1 + 6 x – 4 cos 2 x + 16x – 4 sin 2x + 1 + 3 cos 2x + 1 E. 3 sin 2x + 1 + 3x – 2 cos 2x + 1 .Jawab * fx = 3x – 2 sin2x + 1 kita misalkan terlebih duluu = 3x – 2 maka u’ = 3u = sin 2x + 1 maka u’ = 2 cos2x +1* ingat rumus turunan perkalian dua fungsif'x = u’. u + u’.u= + 1 + 2cos2x +1.3x-2= 3 sin 2x + 1 + 6x – 4 cos 2x +118. Turunan fungsi y = tan x adalah…A. cotan xB. cos² xC. sec² x + 1D. cotan² x + 1E. tan²x + 1Pembahasany = tan x y = sinxcosxMisalkan ux = sin x, maka u'x = cos x vx = cos x, maka v'x = -sin x y = uxvx y = u′x.vx−ux.v′x[vx]2 = = cos2x+sin2xcos2x = sin2x+cos2xcos2x = sin2xcos2x + cos2xcos2x = sinxcosx2 + 1 = tan x² + 1 = tan²x + 1JAWABAN E19. Jika fx = a tan x + bx dan f'π4 = 3, f'π3 = 9, maka a + b = …A. 0B. 1C. π2D. 2E. πPembahasanfx = a tan x + bx f'x = a . 1cos2x + b f'π4 = a . 1cos2π4 + b 3 = a . 1√2/22 + b 3 = 2a + b …………1 f'π3 = a . 1cos2π3 + b 9 = a . 1½2 + b 9 = 4a + b…………..2Eliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh 2a + b = 34a + b = 9 – -2a = -6 a = -6/-2 a = 3 Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan 1, diperoleh 23 + b = 3 6 + b = 3 b = 3 – 6 b = -3 Jadi, a + b = 3 + -3 = 0 JAWABAN A20. Jika r = sinθ−−−−√, maka dr/dθ = …A. 12sinθ√B. cosθ2sinθ C. cosθ2sinθ√ D. −sinθ2cosθ E. 2cosθsinθ√Pembahasan Misalkan u = sin θ, maka u’ = cos θ r = sinθ−−−−√ r = u−−√ r = u½ r’ = 12√u . u’ r’ = 12sinθ√ . cos θ r’ = cosθ2sinθ√ JAWABAN C21. Jika fx = -cos² x – sin²x, maka f'x adalah…A. 2sin x – cos x B. 2cos x – sin x C. sin x. cos x D. 2sin x cos x E. 4sin x cos xPembahasan fx = -cos² x – sin²x fx = -1 – sin²x – sin²x fx = -1 – 2sin²x fx = 2sin²x – 1 Misalkan ux = sin x, maka u'x = cos x fx = 2[ux]² – 1 f'x = 4 . ux¹. u'x – 0 f'x = 4 sin x cos x JAWABAN EBacaan LainnyaIntegral Trigonometri – Fungsi Beserta Contoh Soal dan JawabanRumus Trigonometri – Contoh Soal dan Jawaban Kelas 10Rumus Trigonometri Invers Beserta Contoh Soal dan Jawaban arckosinus, arctangen, arckotangen, arcsekan, arckosekanTrigonometri Rumus Sinus, Cosinus, Tangen, Secan, Cosecan, CotangenIntegral Trigonometri – Fungsi Beserta Contoh Soal dan JawabanRumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta JawabannyaRumus Pitagoras Pythagoras – Teorema Pythagoras – Beserta Contoh Soal dan JawabanBidang-Bidang Matematika Besaran, Ruang, Perubahan, Struktur, Dasar dan Filsafat, Diskret, TerapanBarisan Aritmetika dan Deret AritmetikaQuiz gunung tertinggi di Jepang?24 Foto Yang Menunjukkan Mengapa Wisatawan Memilih Kyoto Sebagai Kota Terbaik Di DuniaCara Membeli Tiket Pesawat Murah Secara Online Untuk Liburan Atau BisnisTibet Adalah Provinsi Cina – Sejarah Dan BudayaPuncak Gunung Tertinggi Di Dunia dimana?TOP 10 Gempa Bumi Terdahsyat Di DuniaApakah Matahari Berputar Mengelilingi Pada Dirinya Sendiri?Test IPA Planet Apa Yang Terdekat Dengan Matahari?10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!TOP 10 Virus Paling Mematikan ManusiaPenyebab Dan Cara Mengatasi Iritasi Atau Lecet Pada Daerah Kewanitaan Akibat Pembalut WanitaApakah Produk Pembalut Wanita Aman?Narkoba – Contoh, Jenis, Pengertian, Efek jangka pendek dan panjangKepalan Tangan Menandakan Karakter Anda – Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?7 Cara Untuk Menguji Apakah Dia, Adalah Teman Sejati Anda Atau Bukan BFF Best Friend ForeverUnduh / Download Aplikasi HP Pinter PandaiRespons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!HP AndroidHP iOS AppleSumber bacaan Sciencing, Clark University, SOS MathSumber foto utama Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu” Quiz Matematika IPA Geografi & Sejarah Info Unik Lainnya Business & Marketing
.
