🦓 Aturan Perkalian Pembagian Penjumlahan Dan Pengurangan I regret, that I can not participate in discussion now. It is not enough information. But with pleasure I will watch this theme.

Carapenulisan rumus googlesheetnya sama seperti saat kita menuliskan soal penjumlahan pada umumnya. Misalkan kita ingin menjumlah angka 30,10,41,20,10,30 dan 28 maka rumus googlesheetnya kita tulis : =30+10+41+20+10+30+28. Jika ingin menjumlahkan angka-angka di dalam sebuah cell atau range cell, misalnya ingin menjumlahkan angka pada Cell E2

Blog Koma - Materi Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri merupakan kelanjutan dari materi "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut". Silahkan juga baca materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi". Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri ini biasanya akan banyak kita gunakan pada materi integral dan limit. Jadi, harus kita ingat rumus-rumus ini karena akan sangat berguna untuk materi lainnya dalam matematika. Rumus Perkalian Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus Misalkan diketahui dua sudut yaitu A dan B, berikut rumus perkalian antara sinus dan cosinus pada sudut A dan B $ \begin{align} \sin A \cos B & = \frac{1}{2}[ \sin A+B + \sin A- B ] \\ \cos A \sin B & = \frac{1}{2}[ \sin A+B - \sin A- B ] \\ \cos A \cos B & = \frac{1}{2}[ \cos A+B + \cos A- B ] \\ \sin A \sin B & = - \frac{1}{2}[ \cos A+B - \cos A- B ] \end{align} $ Pembuktian Rumus Perkalian trigonometri untuk sinus dan cosinus *. Kita menggunakan rumus jumlah dan selisih sudut, yaitu $ \begin{align} \sin A + B & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin A - B & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \cos A+B & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos A-B & = \cos A \cos B + \sin A \sin B \\ \end{align} $ $\clubsuit $ Pembuktian Rumus $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin A+B + \sin A- B ] $ $ \begin{array}{cc} \sin A + B = \sin A \cos B + \cos A \sin B & \\ \sin A - B = \sin A \cos B - \cos A \sin B & + \\ \hline \sin A + B + \sin A - B = 2 \sin A \cos B & \end{array} $ Sehingg terbukti $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin A + B + \sin A - B ] $ $\clubsuit $ Pembuktian Rumus $ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin A+B - \sin A- B ] $ $ \begin{array}{cc} \sin A + B = \sin A \cos B + \cos A \sin B & \\ \sin A - B = \sin A \cos B - \cos A \sin B & - \\ \hline \sin A + B - \sin A - B = 2 \cos A \sin B & \end{array} $ Sehingg terbukti $ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin A+B - \sin A- B ] $ $\clubsuit $ Pembuktian Rumus $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos A+B + \cos A- B ] $ $ \begin{array}{cc} \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B & \\ \cos A-B = \cos A \cos B + \sin A \sin B & + \\ \hline \cos A + B + \cos A - B = 2 \cos A \cos B & \end{array} $ Sehingg terbukti $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos A+B + \cos A- B ] $ $\clubsuit $ Pembuktian Rumus $ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos A+B - \cos A- B ] $ $ \begin{array}{cc} \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B & \\ \cos A-B = \cos A \cos B + \sin A \sin B & - \\ \hline \cos A + B - \cos A - B = -2 \sin A \sin B & \end{array} $ Sehingg terbukti $ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos A+B - \cos A- B ] $ Contoh 1. Tentukan nilai dari trigonometri berikut a. $ \sin 75^\circ \cos 15^\circ $ b. $ \cos 67\frac{1}{2}^\circ \sin 22\frac{1}{2}^\circ $ c. $ \cos 105^\circ \cos 15^\circ $ d. $ \sin 127\frac{1}{2}^\circ \sin 97\frac{1}{2}^\circ $ Penyelesaian a. Gunakan rumus $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin A+B + \sin A- B ] $ dengan besar sudut $ A = 75^\circ \, $ dan $ B = 15^\circ $ $ \begin{align} \sin A \cos B & = \frac{1}{2}[ \sin A+B + \sin A- B ] \\ \sin 75^\circ \cos 15^\circ & = \frac{1}{2}[ \sin 75^\circ +15^\circ + \sin 75^\circ - 15^\circ ] \\ & = \frac{1}{2}[ \sin 90^\circ + \sin 60^\circ ] \\ & = \frac{1}{2}[ 1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} ] \\ & = \frac{1}{4} 2 + \sqrt{3} \end{align} $ Jadi, nilai $ \sin 75^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{4} 2 + \sqrt{3} $ b. Gunakan rumus $ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin A+B - \sin A- B ] $ dengan besar sudut $ A = 67\frac{1}{2}^\circ \, $ dan $ B = 22\frac{1}{2}^\circ $ $ \begin{align} \cos A \sin B & = \frac{1}{2}[ \sin A+B - \sin A- B ] \\ \cos 67\frac{1}{2}^\circ \sin 22\frac{1}{2}^\circ & = \frac{1}{2}[ \sin 67\frac{1}{2}^\circ + 22\frac{1}{2}^\circ - \sin 67\frac{1}{2}^\circ - 22\frac{1}{2}^\circ ] \\ & = \frac{1}{2}[ \sin 90^\circ - \sin 45^\circ ] \\ & = \frac{1}{2}[ 1 - \frac{1}{2} \sqrt{2} ] \\ & = \frac{1}{4} 2 - \sqrt{2} \end{align} $ Jadi, nilai $ \cos 67\frac{1}{2}^\circ \sin 22\frac{1}{2}^\circ = \frac{1}{4} 2 - \sqrt{2} $ c. Gunakan rumus $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos A+B + \cos A- B ] $ dengan besar sudut $ A = 105^\circ \, $ dan $ B = 15^\circ $ $ \begin{align} \cos A \cos B & = \frac{1}{2}[ \cos A+B + \cos A- B ] \\ \cos 105^\circ \cos 15^\circ & = \frac{1}{2}[ \cos 105^\circ + 15^\circ + \cos 105^\circ - 15^\circ ] \\ & = \frac{1}{2}[ \cos 120^\circ + \cos 90^\circ ] \\ & = \frac{1}{2}[ - \cos 60^\circ + 0 ] \\ & = \frac{1}{2}[ - \frac{1}{2} + 0 ] \\ & = - \frac{1}{4} \end{align} $ Jadi, nilai $ \cos 105^\circ \cos 15^\circ = - \frac{1}{4} $ d. Gunakan rumus $ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos A+B - \cos A- B ] $ dengan besar sudut $ A = 127\frac{1}{2}^\circ \, $ dan $ B = 97\frac{1}{2}^\circ $ $ \begin{align} \sin A \sin B & = -\frac{1}{2}[ \cos A+B - \cos A- B ] \\ \sin 127\frac{1}{2}^\circ \sin 97\frac{1}{2}^\circ & = -\frac{1}{2}[ \cos 127\frac{1}{2}^\circ + 97\frac{1}{2}^\circ - \cos 127\frac{1}{2}^\circ - 97\frac{1}{2}^\circ ] \\ & = -\frac{1}{2}[ \cos 225^\circ - \cos 30^\circ ] \\ & = -\frac{1}{2}[ \cos 180^\circ + 45^\circ - \cos 30^\circ ] \\ & = -\frac{1}{2}[ -\cos 45^\circ - \cos 30^\circ ] \\ & = -\frac{1}{2}[ -\frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} ] \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{2} + \sqrt{3} \end{align} $ Jadi, nilai $ \sin 127\frac{1}{2}^\circ \sin 97\frac{1}{2}^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{2} + \sqrt{3} $ Rumus Trigonometri Penjumlahan dan Pengurangan Misalkan diketahui dua sudut P dan Q, berlaku rumus penjumlahan dan pengurangannya $ \begin{align} \sin P + \sin Q & = 2 \sin \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q \\ \sin P - \sin Q & = 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q \\ \cos P + \cos Q & = 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q \\ \cos P - \cos Q & = -2 \sin \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q \\ \tan P + \tan Q & = \frac{2\sinP+Q}{\cos P+Q + \cos P-Q } \\ \tan P - \tan Q & = \frac{2\sinP-Q}{\cos P+Q + \cos P-Q } \end{align} $ Pembuktian rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri *. Kita menggunakan rumus perkalian trigonometri sebelumnya. *. Misalkan $ A + B = P \, $ dan $ A - B = Q $ , maka dengan eliminasi kedua persamaan kita peroleh $ A = \frac{1}{2}P+Q \, $ dan $ A = \frac{1}{2}P-Q $ *. Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yang digunakan. $\spadesuit $ Pembuktian Rumus $ \sin P + \sin Q = 2 \sin \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q $ $ \begin{align} \sin A \cos B & = \frac{1}{2}[ \sin A+B + \sin A- B ] \\ \sin \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q & = \frac{1}{2}[ \sin P + \sin Q ] \\ 2\sin \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q & = \sin P + \sin Q \end{align} $ Sehingga tebukti rumus $ \sin P + \sin Q = 2 \sin \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q $ $\spadesuit $ Pembuktian Rumus $ \sin P - \sin Q = 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q $ $ \begin{align} \cos A \sin B & = \frac{1}{2}[ \sin A+B - \sin A- B ] \\ \cos \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P - Q & = \frac{1}{2}[ \sin P - \sin Q ] \\ 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P - Q & = \sin P - \sin Q \end{align} $ Sehingga tebukti rumus $ \sin P - \sin Q = 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q $ $\spadesuit $ Pembuktian Rumus $ \cos P + \cos Q = 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q $ $ \begin{align} \cos A \cos B & = \frac{1}{2}[ \cos A+B + \cos A- B ] \\ \cos \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q & = \frac{1}{2}[ \cos P + \cos Q ] \\ 2\cos \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q & = \cos P + \cos Q \end{align} $ Sehingga tebukti rumus $ \cos P + \cos Q = 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q $ $\spadesuit $ Pembuktian Rumus $ \cos P - \cos Q = -2 \sin \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q $ $ \begin{align} \sin A \sin B & = -\frac{1}{2}[ \cos A+B - \cos A- B ] \\ \sin \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q & = -\frac{1}{2}[ \cos P - \cos Q ] \\ -2\sin \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q & = \cos P - \cos Q \end{align} $ Sehingga tebukti rumus $ \cos P - \cos Q = -2 \sin \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q $ $\spadesuit $ Pembuktian Rumus $ \tan P + \tan Q = \frac{2\sinP+Q}{\cos P+Q + \cos P-Q } $ *. Gunakan rumus $ \sin P+Q = \sin P\cos Q + \cos P \sin Q \, $ dan $ 2 \cos P \cos Q = \cos P+Q + \cos P-Q $ $ \begin{align} \tan P + \tan Q & = \frac{\sin P}{\cos P} + \frac{\sin Q}{\cos Q} \\ & = \frac{\sin P\cos Q}{\cos P \cos Q} + \frac{\cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{\sin P\cos Q + \cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{\sin P+Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{2\sin P+Q }{2\cos P \cos Q} \\ & = \frac{2\sin P+Q }{\cos P+Q + \cos P-Q} \end{align} $ Sehingga tebukti rumus $ \tan P + \tan Q = \frac{2\sinP+Q}{\cos P+Q + \cos P-Q } $ $\spadesuit $ Pembuktian Rumus $ \tan P - \tan Q = \frac{2\sinP-Q}{\cos P+Q + \cos P-Q } $ *. Gunakan rumus $ \sin P-Q = \sin P\cos Q - \cos P \sin Q \, $ dan $ 2 \cos P \cos Q = \cos P+Q + \cos P-Q $ $ \begin{align} \tan P - \tan Q & = \frac{\sin P}{\cos P} - \frac{\sin Q}{\cos Q} \\ & = \frac{\sin P\cos Q}{\cos P \cos Q} - \frac{\cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{\sin P\cos Q - \cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{\sin P-Q }{\cos P \cos Q} \\ & = \frac{2\sin P-Q }{2\cos P \cos Q} \\ & = \frac{2\sin P-Q }{\cos P+Q + \cos P-Q} \end{align} $ Sehingga tebukti rumus $ \tan P + \tan Q = \frac{2\sinP-Q}{\cos P+Q + \cos P-Q } $ Contoh 2. Tentukan nilai dari a. $ \sin 105^\circ + \sin 15 ^\circ $ b. $ \sin 105^\circ - \sin 15 ^\circ $ c. $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ $ d. $ \tan 105^\circ + \tan 15 ^\circ $ Penyelesaian a. Nilai $ \sin 105^\circ + \sin 15 ^\circ $ $\begin{align} \sin P + \sin Q & = 2 \sin \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q \\ \sin 105^\circ + \sin 15 ^\circ & = 2 \sin \frac{1}{2}105^\circ+ 15 ^\circ \cos \frac{1}{2}105^\circ-15 ^\circ \\ & = 2 \sin 60 ^\circ \cos 45 ^\circ \\ & = 2 .\frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{6} \end{align} $ Jadi, nilai $ \sin 105^\circ + \sin 15 ^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{6} $ b. Nilai $ \sin 105^\circ - \sin 15 ^\circ $ $\begin{align} \sin P - \sin Q & = 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \sin \frac{1}{2}P-Q \\ \sin 105^\circ - \sin 15 ^\circ & = 2 \cos \frac{1}{2}105^\circ+ 15 ^\circ \sin \frac{1}{2}105^\circ-15 ^\circ \\ & = 2 \cos 60 ^\circ \sin 45 ^\circ \\ & = 2 .\frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align} $ Jadi, nilai $ \sin 105^\circ - \sin 15 ^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $ c. Nilai $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ $ $\begin{align} \cos P + \cos Q & = 2 \cos \frac{1}{2}P+Q \cos \frac{1}{2}P-Q \\ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ & = 2 \cos \frac{1}{2}105^\circ+ 15 ^\circ \cos \frac{1}{2}105^\circ-15 ^\circ \\ & = 2 \cos 60 ^\circ \cos 45 ^\circ \\ & = 2 .\frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align} $ Jadi, nilai $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $ d. Nilai $ \tan 105^\circ + \tan 15 ^\circ $ $\begin{align} \tan P + \tan Q & = \frac{2\sinP+Q}{\cos P+Q + \cos P-Q } \\ \tan 105^\circ + \tan 15 ^\circ & = \frac{2\sin105^\circ +15 ^\circ }{\cos 105^\circ + 15 ^\circ + \cos 105^\circ - 15 ^\circ } \\ & = \frac{2\sin120^\circ }{\cos 120 ^\circ + \cos 90 ^\circ } \\ & = \frac{2\sin180^\circ - 60^\circ }{\cos 180^\circ - 60^\circ + \cos 90 ^\circ } \\ & = \frac{2\sin 60^\circ }{ - \cos 60^\circ + \cos 90 ^\circ } \\ & = \frac{2 . \frac{1}{2} \sqrt{3} }{ - \frac{1}{2} + 0 } \\ & = \frac{\sqrt{3} }{ - \frac{1}{2} } \\ & = -2\sqrt{3} \end{align} $ Jadi, nilai $ \tan 105^\circ + \tan 15 ^\circ = -2\sqrt{3} $ 3. Tentukan nilai dari a. $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ $ b. $ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ $ Penyelesaian a. Misalkan nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ = x $ artinya kita mencari nilai $ x \, $ . *. Gunakan sudut rangkap sinus $ \sin 2A = 2\sin A \cos A $ Kedua ruas dikalikan $ 2\sin 20^\circ \, $ dan rumus $ 2\sin A \cos A = \sin 2A $ $ \begin{align} x & = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = 2\sin 20^\circ . \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \sin 2 \times 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{2}2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{2} \sin 2 \times 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{2} \sin 80^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{2}. \frac{1}{2} 2\sin 80^\circ \cos 80^\circ \cos 60^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{4} \sin 2 \times 80^\circ \cos 60^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{4} \sin 160^\circ \cos 60^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{4} \sin 180^\circ - 20^\circ \cos 60^\circ \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ . \frac{1}{2} \\ 2\sin 20^\circ. x & = \frac{1}{8} \sin 20^\circ \\ x & = \frac{ \frac{1}{8} \sin 20^\circ }{ 2\sin 20^\circ} \\ x & = \frac{1}{16} \end{align} $ Jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{16} $ b. Nilai $ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ $ *. Gunakan $ \sin 2 A = 2\sin A \cos A \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A } $ serta $ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $ *. Menenylesaikan soal $ \begin{align} \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ & = \sin 2 \times 42^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 2 \times 42^\circ \\ & = 2\sin 42^\circ \cos 42^\circ . \frac{\sin 42 ^\circ}{\cos 42 ^\circ} + 1 - 2\sin ^2 42^\circ \\ & = 2\sin ^2 42^\circ + 1 - 2\sin ^2 42^\circ \\ & = 1 \end{align} $ Jadi, nilai $ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ = 1 $ . 4. Tentukan jumlah $ n \, $ suku pertama dari deret $ \sin a + \sin a + b + \sin a+2b + \sin a + 3b + ... + \sin a + n-1b $ Pnyelesaian *. Soal ini adalah jumlah deret dengan suku-suku berbentuk trigonometri. *. Jumlah $ n \, $ suku pertama $ s_n$ maksudnya $ s_n = \sin a + \sin a + b + \sin a+2b + \sin a + 3b + ... + \sin a + n-1b $ *. Kita gunakan rumus $ \sin A \sin B = -\frac{\cos A+B - \cos A - B} \, $ atau $ 2\sin A \sin B = \cos A- B - \cos A + B $ *. Semua suku kita kalilikan dengan $ 2 \sin \frac{b}{2} \, $ , kemudian dijumlahkan semua. $ \begin{array}{cccccc} 2\sin a \sin \frac{b}{2} & = & \cos a - \frac{b}{2} & - & \cos a + \frac{b}{2} & \\ 2\sin a + b \sin \frac{b}{2} & = & \cos a + \frac{b}{2} & - & \cos a + \frac{3b}{2} & \\ 2\sin a + 2b \sin \frac{b}{2} & = & \cos a + \frac{3b}{2} & - & \cos a + \frac{5b}{2} & \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & \\ 2\sin a + n-1b \sin \frac{b}{2} & = & \cos a + n - \frac{3}{2}b & - & \cos a + n - \frac{1}{2}b & + \\ \hline \\ 2 \sin \frac{b}{2} s_n & = & \cos a - \frac{b}{2} & - & \cos a + n - \frac{1}{2}b & \end{array} $ *. Gunakan rumus $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}A + B \sin \frac{1}{2}A-B $ $ \begin{align} 2 \sin \frac{b}{2} s_n & = \cos a - \frac{b}{2} - \cos a + n - \frac{1}{2}b \\ & = -2 \sin \frac{1}{2} \left a - \frac{b}{2} + a + n - \frac{1}{2}b \right \sin \frac{1}{2} \left a - \frac{b}{2} - a + n - \frac{1}{2}b \right \\ 2 \sin \frac{b}{2} s_n & = 2 \sin \left a + \frac{n-1}{2} b \right \sin \left \frac{n}{2} b \right \\ \sin \frac{b}{2} s_n & = \sin \left a + \frac{n-1}{2} b \right \sin \left \frac{n}{2} b \right \\ s_n & = \frac{ \sin \left a + \frac{n-1}{2} b \right \sin \left \frac{n}{2} b \right }{\sin \frac{b}{2}} \end{align} $ Jadi, jumlah $ n \, $ suku pertamanya adalah $ \begin{align} s _ n = \frac{ \sin \left a + \frac{n-1}{2} b \right \sin \left \frac{n}{2} b \right }{\sin \frac{b}{2}} \end{align} $

Aturanperkalian dan pembagian angka penting. Dalam penjumlahan atau pengurangan, hasilnya tidak boleh lebih akurat dari angka yang paling tidak akurat. Contoh 1 : 3,7 - 0,57 = ? 3,7 paling tidak akurat. Jika menggunakan kalkulator, hasilnya adalah 3,13. Hasil ini lebih akurat dari 3,7 karenanya harus dibulatkan menjadi 3,1. 3,7 - 0 Blog Koma - Halow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi yang berkaitan dengan kaidah pencacahan yaitu menentukan banyaknya cara dalam menyusun suatu percobaan. Kaidah pencacahan terdiri dari aturan perkalian dan aturan penjumlahan, permutasi dan kombinasi. Untuk khusus pada kesempatan ini, kita akan membahas lebih mendetail tentang Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial. Materi faktorial digunakan untuk masalah permutasi dan kombinasi. Aturan Perkalian pada kaidah pencacahan Jika terdapat $ n \, $ unsur yang tersedia, $k_1 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur pertama $ k_2 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun $ k_3 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun dan seterusnya sampai $k_n = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur ke-$n$ setelah objek $ n - 1 $ unsur sebelumnya tersusun Maka banyak cara untuk menyusun $ n \, $ unsur yang tersedia adalah $ k_1 \times k_2 \times k_3 \times ... \times k_n $ Catatan Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya "SEKALIGUS TERJADI" dan biasanya menggunakan kata penghubung "DAN" Contoh soal penggunaan aturan perkalian 1. Budi mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan cokelat yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda? Penyelesaian *. Cara I Mendaftarkan semua pasangan dengan diagram Berikut diagram kemungkinan pasangan baju dan celana. Dari diagram di atas, banyaknya pasangan baju dan celana yang dapat digunakan oleh Budi sebanyak 6 pasang yaitu baju putih, celana hitam, baju putih, celana cokelat, baju batik, celana hitam, baju batik, celana cokelat, baju cokelat, celana hitam, dan baju cokelat, celana cokelat. *. Cara II Menggunakan aturan perkalian. Pada soal ini kita akan menentukan banyaknya pasangan baju dan celana, artinya setiap pasangan harus memuat baju dan celana sehingga SEKALIGUS kedua-duanya baju dan celana harus ada sehingga kita bisa menggunakan aturan perkalian secara langsung. *. Unsur pertama adalah baju, ada 3 pilihan baju, sehingga $ k_1 = 3 $. *. Unsur kedua adalah celana, ada 2 pilihan celana, sehingga $ k_2 = 2 $. *. Total pasangan baju dan celanan Total pasangan $ = k_1 \times k_2 = 3 \times 2 = 6 $. Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana ada 6 pasang berbeda. 2. Iwan memiliki 5 jenis baju yang berbeda, 2 jenis celana yang berbeda, 2 topi yang berbeda, 3 dasi yang berbeda, dan 4 pasang sepatu serta kaosnya. Tentukan ada berapa banyak cara Iwan menggunakan seragam sekolah jika semua jenis harus dipakai? Penyelesaian Total seragam yang mungkin terbentuk adalah $ 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 4 = 240 \, $ pilihan. Jadi, ada 240 pilihan seragam yang bisa dipakai oleh Iwan. 3. Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B melewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi dapat pergi dari kota A ke kota C? Penyelesaian *. Kita gunakan aturan perkalian karena jalur AB dan BC harus ditempuh semua, artinya ketiga jalur SEKALIGUS dilewati untuk perjalanan dari kota A ke kota C. Total jalur $ = 4 \times 3 = 12 \, $ jalur. 4. Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat? Penyelesaian *. Plat nomor tidak boleh ada angka yang berulang, artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi. Misalkan palat nomor 2113 tidak boleh karena angka 1 berulang. Contoh yang boleh adalah plat nomor 2134, 1234, 1235, dan lainnya. *. Misalkan kita buat 4 buah kotak kosong yaitu kotak a, b, c dan d sebab nomor kendaraan itu terdiri dari 4 angka. Berikut cara pengisian masing-masing kotak Pilihan angkanya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka. i. Kotak a, dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara. ii. Kotak b, dapat diisi dengan 4 pilihan bilangan karena satu bilangan sudah dipakai untuk kotak a. iii. Kotak c, dapat diisi dengan 3 pilihan bilangan karena dua bilangan sudah dipakai untuk kotak a dan b. iv. Kotak d, dapat diisi dengan 2 pilihan bilangan karena tiga bilangan sudah dipakai untuk kotak a, b, dan c. Sehingga gambar lengkap kotaknya adalah Banyaknya plat nomor $ = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \, $ plat nomor. Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 120 plat nomor. 5. Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat? Penyelesaian Soal ini sebenarnya mirip dengan soal nomor 4, hanya saja syaratnya yang dibedakan sedikt. Plat nomor boleh ada angka yang sama, artinya angka yang sudah dipakai boleh dipakai lagi. *. Kita buat 4 kota karena plat nomor terdiri dari 4 angka saja. Pilihan angkarnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka. Cara pengisian setiap kotak i. Kotak I, dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara. ii. Kotak II, dapat diisi dengan 5 pilihan angka juga karena angka yang sudah dipakai pada kotak I bisa dipakai lagi pada kotak II. Begitu juga dengan kotak III dan kotak IV ada 5 pilihan angka masing-masing. Banyaknya plat nomor $ = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \, $ plat nomor. Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 625 plat nomor. Aturan Penjumlahan pada kaidah pencacahan Jika terdapat $ n \, $ peristiwa yang saling lepas, $k_1 = \, $ banyak cara pada peristiwa pertama $ k_2 = \, $ banyak cara pada peristiwa kedua $ k_3 = \, $ banyak cara pada peristiwa ketiga dan seterusnya sampai $k_n = \, $ banyak cara pada peristiwa ke-$n$ Maka banyak cara untuk $ n \, $ buah peristiwa secara keseluruhan adalah $ k_1 + k_2 + k_3 + ... + k_n $ Catatan Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang "TIDAK SEKALIGUS TERJADI" artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau bisa dibilang "PILIHAN" dan biasanya menggunakan kata penghubung "ATAU" Contoh soal aturan penjumlahan 6. Di rumahnya Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Wati ingin berpergian, ada berapa cara Wati menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya? Penyelesaian Pada kasus ini, ada tiga pilihan kendaraan yaitu sepeda, sepeda motor, dan mobil. Wati tidak mungkin menggunakan SEKALIGUS ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Wati harus memilih salah satu jenis kendaraan saja. Sehingga kita bisa menggunakan aturan penjumlahan pada kasus ini. *. Menentukan banyak cara menggunakan kendaraan Total cara $ = 3 + 2 + 2 = 7 \, $ cara. Jadi, ada 7 cara pilihan kendaraan yang bisa digunakan oleh Wati. 7. Dari Kota A menuju kota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar di bawah ini. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D? Penyelesaian *. Untuk perjalanan dari kota A ke kota D bisa melalui kota B atau kota C. Beberapa jalur yang bisa ditempuh Jalur Pertama jalurnya A - B - D A - B ada 4 jalan dan B - D ada 3 jalan, toal jalur pertama $ = 4 \times 3 = 12 $ Jalur Kedua jalurnya A - C - D A - C ada 3 jalan dan C - D ada 3 jalan, toal jalur kedua $ = 3 \times 3 = 9 $ *. Keseluruhan jalur yang ditempuh adalah melalui jalur pertama atau jalur kedua sehingga bisa menggunakan aturan penjumlahan. Total jalur = jalur pertama $ + \, $ jalur kedua = $ 12 + 9 = 21 \, $. Jadi, banyak kemungkinan jalur yang ditempuh dari A ke D ada 21 jalur. Definisi dan Notasi Faktorial Misalkan ada $ n \, $ bilangan asli, Notasi faktorial adalah $ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial". Cara penghitungannya $ n! = n \times n-1 \times n-2 \times n-3 \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $ dengan $ 0! = 1 $. Contoh soal faktorial 8. Tentukan nilai faktorial berikut ini, a. 5! b. 3! c. 6! d. $ \frac{7!}{5!} $ e. $ 3! \times 2 ! $ f. $ \frac{8!}{3! \times 6!} $ Penyelesaian a. $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $ b. $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $ c. $ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 $ d. $ \frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42 $ e. $ 3! \times 2 ! = 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 = 6 \times 2 = 12 $ f. $ \frac{8!}{3! \times 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7 }{3 \times 2 \times 1 } = \frac{28}{3} $ 9. Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk faktorial a. $ 4 \times 5 \times 6 $ b. $ \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} $ Penyelesaian a. $ \begin{align} 4 \times 5 \times 6 = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3 } = \frac{6!}{3!} \end{align} $ b. $ \begin{align} \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 } = \frac{8!}{4! \times 4!} \end{align} $ 10. Hitunglah nilai faktorial dari $ \frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{24}{8!} $ Penyelesaian *. Karena penyebutnya ada tiga jenis, maka kemunngkinan jawabannya ada 3 bentuk yang nilainya tetap sama. $ \begin{align} \frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{10}{8!} & = \frac{8 \times 5}{8 \times 7!} - \frac{8 \times 7 \times 1 }{8 \times 7 \times 6!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40}{8!} - \frac{56 }{8!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40 - 56 + 24}{8!} \\ & = \frac{8}{8!} \\ & = \frac{8}{8 \times 7!} \\ & = \frac{1}{7!} \\ & = \frac{1}{7 \times 6!} \\ \end{align} $ Jadi hasilnya adalah $ \frac{8}{8!} \, $ atau $ \frac{1}{7!} \, $ atau $ \frac{1}{7 \times 6!} $. 11. Tentukan nilai $ n \, $ , jika $ \frac{n! - n-2!}{n-1!} = 1 $ Penyelesaian $ \begin{align} \frac{n! - n-2!}{n-1!} & = 1 \\ \frac{n \times n-1 \times n-2! - n-2!}{n-1 \times n-2!} & = 1 \\ \frac{n \times n-1 - 1}{n-1 } & = 1 \\ \frac{n^2 - n - 1}{n-1 } & = 1 \\ n^2 - n - 1 & = n - 1 \\ n^2 - 2n & = 0 \\ nn-2 & = 0 \\ n = 0 \vee n = 2 \end{align} $ Yang memenuhi adalah untuk $ n = 2 $ . Jadi, diperoleh nilai $ n = 2 $.

Temukanpenjumlahan bilangan desimal yang hasilnya 1473. 44 Soal Perkalian dan Pembagian Sekolah Dasar dan Kunci Jawaban Oleh Anas Ilham Diposting pada April 12 2020 Agustus 26 2020 Contoh Soal Perkalian dan Pembagian Sekolah Dasar Pilihan Ganda dan Jawaban Dalam pembelajaran matematika dasar terdapat 7 operasi hitung bilangan bulat yang sering

^{– Program Belajar dari Rumah di TVRI hadir kembali dengan tayangan Khan Academy Penjumlahan, Perkalian, Pembagian yang tayang pada pukul pukul - WIB untuk SD Kelas 1 – 3 pada 12 Mei 2020. Belajar dari Rumah adalah Program Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Kemdikbud memberikan alternatif pendidikan bagi semua kalangan di masa darurat Covid-19Baca juga Operasi Hitung dan Bilangan Pecahan, Matematika TVRI, 11 Mei 2020 Berikut soal dan jawbaan Belajar dari Rumah di TVRI untuk kelas 1-3 SD hari Selasa, 12 Mei 2020 Soal 1 a … = 3 puluhan + 4 satuanb 57 = … puluhan + … satuan Jawaban a 34 = 3 puluhan + 4 satuan b 57 = 5 puluhan + 7 satuan Soal 2 lihat pada video Jawaban}

Operatorpenyambung string, (., .=) Dalam kesempatan ini kita akan belajar php aritmatika sederhana , dengan contoh yang simple agar mudah untuk dipahami. Berikut ini , merupakan contoh operasi langsung matematika penjumlahan, pengurangan dan perkalian dengan menggunakan PHP, dimana kita membuat variabel terlebih dahulu , dan kemudian kita

Karenaperkalian merupakan penjumlahan yang berulang pun pembagian merupakan pengurangan yang berulang, sehingga harus dikembalikam ke bentuk dasar tersebut (penjumlahan dan pengurangan) sebelum dijumlahkan maupun dikurangkan. Terkait ini sudah diatur dalam aturan yang disebut "The Order of Operations"

ecx09q9d7y.pages.dev/966

ecx09q9d7y.pages.dev/856

ecx09q9d7y.pages.dev/674

ecx09q9d7y.pages.dev/772

ecx09q9d7y.pages.dev/601

ecx09q9d7y.pages.dev/742

ecx09q9d7y.pages.dev/345

ecx09q9d7y.pages.dev/260

ecx09q9d7y.pages.dev/999

ecx09q9d7y.pages.dev/80

ecx09q9d7y.pages.dev/144

ecx09q9d7y.pages.dev/484

ecx09q9d7y.pages.dev/444

ecx09q9d7y.pages.dev/134

ecx09q9d7y.pages.dev/666

aturan perkalian pembagian penjumlahan dan pengurangan